Resumo:
Wang Hong, vencedor da Medalha Fields de 2026, ganhou a maior honraria em matemática com a prova da conjectura do conjunto tridimensional de Kaketani. Este problema geométrico que durou um século deu um salto histórico de duas dimensões para três dimensões em suas mãos e se tornou o avanço matemático mais significativo da última década.
Apenas três meses depois, a OpenAI deu um grande passo nesta pesquisa: ela não apenas resolveu a conjectura tridimensional mais difícil da função máxima de Kakeya, mas também provou pela primeira vez que a dimensão de Hausdorff do conjunto quadridimensional de Kakeya é igual a 4, empurrando o melhor registro anterior de humanos presos em 3.059 dimensões uma dimensão acima, atingindo o limite superior teórico.
No entanto, esta é apenas a ponta do iceberg no desafio da OpenAI para o mundo matemático.
Desta vez, a OpenAI lançou 722 manuscritos matemáticos de uma só vez, classificados em 372 famílias de resultados, cobrindo áreas muito além do problema de Kakeya, incluindo a hipótese quase-Riemann, o décimo problema de Hilbert, problemas relacionados às constantes catalãs e dezenas de outros problemas clássicos que têm perturbado a comunidade acadêmica por muitos anos. Todo o conteúdo é derivado de um modelo interno que nem sequer foi nomeado. Cada problema leva em média apenas 3 horas.
A OpenAI postou esses manuscritos no GitHub e, 24 horas depois de ficar on-line, recebeu 10.000 estrelas.
A Association for Human Mathematics disse: "Os matemáticos não pediram à OpenAI para fazer este trabalho." Ele também afirmou que esses manuscritos careciam de verificação e eram apenas mais um “marketing de desempenho” da OpenAI.
O que é exatamente o Manuscrito Nº 074?
A origem do problema de Kakeya é uma questão colocada pelo matemático japonês Soichi Kaketani em 1917: suponha que você tenha uma agulha fina, coloque-a sobre uma superfície plana e gire-a em um círculo (ou deixe-a apontar em todas as direções). Qual é a menor área que a agulha pode varrer?
Intuitivamente falando, a agulha tem um comprimento, então ela deve varrer um disco ao girar uma vez, certo?
Esse não é o caso. Mais tarde, o matemático Besikovich provou que, desde que o método de rotação seja “inteligente” o suficiente, a área varrida pela agulha pode ser arbitrariamente pequena, até menor do que qualquer número positivo especificado.
Com base nisso, os matemáticos construíram um conjunto com “área zero” que ainda contém segmentos de reta em cada direção. Este tipo de conjunto é denominado "conjunto Besicovitch" ou "conjunto Kaketani".
Como a área pode ser tão pequena quanto 0, esse problema não acaba? Mas não.
Porque "a área é zero" significa apenas que este conjunto não tem espessura e não ocupa espaço, mas não pode expressar o quão "complexo" ele é.
A área matemática de uma linha e de uma bola de linhas pode ser 0, mas obviamente as duas não são a mesma coisa.
Então os matemáticos mudaram seu pensamento. Embora este conjunto não tenha área, é como uma linha ou uma superfície, ou está mais próximo de uma coisa sólida? Portanto, existem "dimensões".
Uma linha é unidimensional, um pedaço de papel é bidimensional e uma caixa é tridimensional. Mas para alguns conjuntos particularmente "esparsos", a dimensão pode até ser decimal, como 2,5 dimensões.
A "dimensão Hausdorff" é uma das réguas mais usadas. Sua lógica é usar bolas bem pequenas para cobrir um conjunto. Quantas bolas são necessárias? Se o raio da esfera for reduzido pela metade e o número de esferas necessárias for duplicado, então o conjunto é unidimensional, como uma linha; se for quadruplicado, é bidimensional, como um plano; se for oito vezes, é tridimensional, como um corpo sólido. No meio está a dimensão decimal.
No plano bidimensional, os matemáticos provaram já em 1971 que qualquer conjunto contendo segmentos de reta em todas as direções deve ter dimensão 2, mesmo que sua área seja 0.
E quanto ao espaço tridimensional? E a quarta dimensão? E quanto às dimensões superiores? Os matemáticos adivinham: No espaço n-dimensional, desde que um conjunto contenha segmentos de linha de comprimento unitário em todas as direções, sua dimensão de Hausdorff deve ser igual a n, mesmo que seu volume seja 0. Esta é a famosa "Conjectura do Conjunto Kakeya".
Em 2026, Wang Hong ganhou a Medalha Fields. A razão oficial para o prêmio foi seu progresso significativo no problema do limite de Fourier e no problema tridimensional de Kakeya. A mais central e mais conhecida delas é a conjectura do conjunto tridimensional de Kakeya mencionada anteriormente.
Os dois problemas que a OpenAI resolveu desta vez foram as “versões com maior potência” de Wang Hong.
A primeira é a conjectura tridimensional da função máxima de Kakeya.
O "máximo" no nome refere-se à prática de "escolher o valor máximo".
Suponha que haja neblina no espaço com densidade irregular. Pegue um canudo fino e chupe em diferentes posições. A concentração média da névoa contida no canudo será diferente.
Tente todas as interpolações possíveis nesta direção e registre apenas aquela com maior concentração. Este “valor mais alto” é o “valor máximo” nesta direção.
Mude a direção novamente, repita a mesma coisa e obtenha outro "valor mais alto". Ao coletar os valores mais altos em todas as direções, obtém-se uma relação correspondente entre “direção e valor mais alto”. Os matemáticos chamam isso de "função máxima de Kakeya".
A segunda é a conjectura da dimensão quadridimensional de Hausdorff, ou seja, movendo a conclusão anterior de três dimensões para quatro dimensões.
A dimensão de Kakeya definida no espaço quadridimensional deve ser 4. O melhor resultado atual dos humanos em quatro dimensões é 3,059 obtido usando a demonstração do "planebrush" em 2021. Em outras palavras, só pode ser provado que tem pelo menos 3,059 dimensões. De 3.059 para 4, equivale a um aumento direto em uma dimensão.
De bidimensional para tridimensional, a dificuldade do problema é quase uma “mudança qualitativa”; de tridimensional para quadridimensional, é também uma mudança qualitativa. Porque quanto maior a dimensionalidade, mais maneiras esses “tubos” podem se cruzar e se empilhar, e mais situações geométricas complexas os matemáticos precisam lidar.
Portanto, se os matemáticos completassem essas duas conjecturas, levariam pelo menos vários anos.
No entanto, de acordo com a própria declaração da OpenAI, todo o processo é bastante “simples”.
Use um modelo interno não lançado e uma palavra de prompt e deixe um agente executá-lo. Em média, cada resultado consome apenas cerca de 3 horas de poder de pensamento do ChatGPT Pro.
Durante todo o processo de avaliação, cerca de 4.000 questões foram lançadas no modelo. Após a fusão e triagem, restaram os atuais 722 manuscritos.
OpenAI supera Medalha Fields?
Se os canudos não estiverem muito empilhados, a área total que ocupam será naturalmente insignificante. Portanto, uma vez estabelecida a conjectura da função máxima, a versão definida da conjectura pode ser derivada diretamente.
Portanto, alguns internautas disseram que a IA levou apenas três horas para ultrapassar a Medalha Fields. No entanto, isso é na verdade uma espécie de preconceito. Não apenas menospreza a Medalha Fields, mas também não consegue compreender os resultados da pesquisa de Wang Hong.
Porque o argumento da OpenAI não começa do zero. A família de resultados nº 074 afirmou claramente que foi baseada nos resultados da pesquisa de Wang Hong e não foi derivada do nada.
Isso também está de acordo com a norma da pesquisa matemática. Quase todos os grandes avanços na história da humanidade dependem de predecessores, e a própria prova de Wang Hong também se baseia em seu trabalho anterior sobre "conjuntos pegajosos de Kakeya" e nos resultados de muitos matemáticos nos últimos trinta anos.
O que é mais coincidente é que já em março de 2025, o matemático do MIT Larry Guth previu numa entrevista que passar de duas dimensões para três dimensões é o passo mais difícil, e a prova de Wang Hong provavelmente será transformada e usada para problemas de dimensões superiores.
Portanto, se a conclusão quadridimensional da OpenAI for verdadeira, em certo sentido, ela também está validando o julgamento do matemático daquela época.
Como devemos entender a frase "mais que a Medalha Fields"?
Primeiro, a Medalha Fields recompensa um matemático por sua contribuição geral, e não apenas por um único artigo. Acontece que na Medalha Fields concedida a Wang Hong, a conjectura do conjunto tridimensional de Kaketani é de fato o resultado principal.
Em segundo lugar, se o manuscrito nº 074 da OpenAI for realmente verdadeiro, então em termos da dimensão única da "dificuldade" matemática, é de fato mais difícil do que a questão pela qual Wang Hong ganhou o prêmio: porque a versão tridimensional da função máxima contém a versão definida, e o problema da dimensão Hausdorff quadridimensional é um objetivo adicional da humanidade após três dimensões que nunca foi resolvido antes.
Mas há uma palavra-chave nesta frase: "se".
O manuscrito nº 074 atualmente não possui nenhuma prova formal do Lean e não foi revisado por pares. Até que seja verificado, é apenas “um artigo que afirma resolver um problema mais difícil”, em vez de “um problema mais difícil que foi comprovado”. Na história da matemática, existem muitas “provas” que foram anunciadas e depois retiradas.
No momento, ainda estamos presos à palavra "se".
A Medalha Fields de Wang Hong, após meses de testes e revisão por toda a comunidade acadêmica, tornou-se agora a pedra angular deste campo. Independentemente de o manuscrito OpenAI ser definitivamente estabelecido ou não, seu ponto de partida é inseparável desta pedra angular.
A verificação é a mais difícil
A verdadeira dificuldade é a verificação. O processo de verificação da matemática é um dos aspectos mais trabalhosos de toda a pesquisa matemática.
Veja Wang Hong como exemplo.
Em fevereiro de 2025, ela postou a prova da conjectura do conjunto tridimensional de Kakeya no site de pré-impressão acadêmica arXiv, que tem cerca de 127 páginas.
Depois que o artigo é divulgado, ele não é imediatamente reconhecido como "correto". O artigo foi submetido a repetidos auto-exames por parte do autor e a longas análises por estudiosos renomados como Terence Tao. A revista Quanta chamou isso de prova “uma vez a cada século”.
O trabalho de verificação durou de fevereiro de 2025 até o anúncio da Medalha Fields em julho de 2026, o que durou quase um ano e meio. Ainda hoje, muitos matemáticos não absorveram e digeriram totalmente as novas ideias deste conjunto de provas.
Isso significa que uma prova de mais de 100 páginas escrita por um matemático humano de ponta terá que passar por uma revisão coletiva por mais de um ano antes de ser amplamente reconhecida.
Agora, 722 artigos chegaram de uma só vez.
Além disso, muitos dos 722 manuscritos divulgados pela OpenAI são longos argumentos de centenas de páginas. Se cada artigo exigir a leitura de um especialista durante vários meses, pode haver apenas algumas dezenas de especialistas no mundo que possam compreender um dos artigos, ou até menos.
Além disso, cada um desses especialistas tem sua própria pesquisa e é impossível deixar todo o trabalho em mãos para "atuar como revisor" do OpenAI.
O que é mais problemático é que um porta-voz da OpenAI admitiu que muitos desses resultados não são totalmente compreendidos pelos próprios matemáticos da OpenAI, incluindo o manuscrito nº 074 mencionado acima.
Portanto, as reações da comunidade matemática são mais céticas.
Esse tipo de preocupação não é novidade hoje.
Em 8 de setembro de 2026, a OpenAI anunciou que seu modelo interno havia resolvido o problema do milênio da equação de Navier-Stokes. Foi dito que cerca de 10.000 Agentes foram usados para cálculos paralelos.
No entanto, o matemático da Universidade Brown, Gómez-Serrano, mencionou numa palestra em Harvard que a prova relevante de 166 páginas é "incompreensível".
Em 11 de setembro, 25 ganhadores da Medalha Fields (incluindo Terence Teru e outros) emitiram em conjunto uma declaração pública "O Sério Deslocamento da Inteligência Artificial em Matemática", criticando as empresas de IA por usarem a "superação de problemas famosos" como ferramenta de marketing para demonstrar as capacidades do modelo e lançá-lo às pressas. Não só não promoveu o desenvolvimento da matemática, mas também teve um impacto negativo na comunidade matemática.
Em 21 de setembro, a OpenAI anunciou o estabelecimento de um grupo consultivo independente composto por matemáticos (AGMAI, localizado no Instituto de Estudos Avançados de Princeton). No dia 29 de setembro, o grupo consultivo afirmou que ao publicar os resultados matemáticos gerados pela IA, também divulgará o modelo utilizado, palavras de alerta específicas e tempo de cálculo.
Mas entre os 722 manuscritos divulgados pela OpenAI desta vez, apenas números gerais como "tempo médio de cálculo" foram anunciados. Nenhuma palavra imediata foi anunciada e nenhum modelo foi divulgado.
O matemático do MIT, Andrew Sutherland, disse: "A menos que publiquem o modelo para que todos possam reproduzi-lo, a ideia de que um único agente pode resolver o problema com um único prompt deve ser considerada não comprovada. Deveríamos exigir ver o 'recibo'."
A implicação é que esses 722 manuscritos são todos “notícias falsas”.
No dia 7 de outubro, a Associação de Humanidades e Matemática mencionada no início acreditava que “a divulgação de mais de 700 documentos de uma só vez mostra não acadêmicos, mas uma espécie de poder”. Posteriormente, a associação apelou aos matemáticos para pararem de colaborar com a OpenAI.
Claro, há outra voz. "Se quisermos saber as respostas para estes problemas matemáticos, não vejo qualquer razão para pedir às empresas que os escondam... Isso é bom para a matemática", disse Daniel Litt, da Universidade de Toronto.
Os matemáticos não conseguem verificar estes 722 manuscritos num curto espaço de tempo, por isso esperam verificá-los através do Lean.
Lean é um "assistente de prova" e uma linguagem de programação. Os matemáticos precisam traduzir cada passo da prova para uma linguagem estrita que o Lean possa entender. O sistema Lean então verifica passo a passo. Contanto que qualquer etapa seja ambígua ou ignorada, ela falhará. Uma vez aprovada, a prova é quase certamente logicamente livre de erros.
De acordo com o catálogo público, das 372 famílias de resultados mescladas em 722 manuscritos, 235 possuem descrições formais Lean, representando aproximadamente 63%.
Mas o Lean não é onipotente. O matemático Gil Kalai disse que também pode haver problemas com a verificação do Lean. Por exemplo, ao traduzir um problema matemático para a linguagem Lean, se houver um desvio na própria tradução e a verificação da máquina for aprovada, pode não ser o problema original. Além disso, o Lean só pode confirmar que é "logicamente irracional", mas não pode julgar se o resultado é novo ou valioso.
Portanto, o manuscrito nº 074, que não é formalizado por Lean, só pode ser verificado por matemáticos.
Se for finalmente provado que o Manuscrito nº 074 está correto, este deverá ser um evento marcante na história da matemática.
Demorou mais de 100 anos para que o problema de Kakeya avançasse para três dimensões, mas a IA deu vários passos adiante em apenas três horas.
Da mesma forma, pode-se descobrir no final que o Manuscrito Nº 074 está realmente errado.
Em última análise, deveria uma “prova” que os humanos não podem verificar num curto período de tempo ser chamada de prova? Este é o verdadeiro quebra-cabeça deixado para a comunidade matemática.
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